Determinar o valor do lado $\;\overline{AC}\;$ na figura abaixo:
resposta:
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
(STO AMARO) Se forem indicados por $\;a \text{, } b \text{, } c \;$ os três lados de um triângulo e $\;\hat{A} \text{, } \hat{B} \text{, }\hat{C}\;$, respectivamente, os ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados $\;a \text{, } b\;$ e o ângulo $\,\hat{B}\,$, assinale qual das fórmulas abaixo poderá ser utilizada para calcular o lado $\,c\,$. a) $\,a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,2bc\,\operatorname{cos}A\,$ b) $\,b^2\,=\,a^2\,+\,c^2\,+\,2ac\,\operatorname{cos}(A\,+\,C)\,$ c) $\,c^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,2ab\,\operatorname{cos}C\,$ d) $\,c^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,2ab\,\operatorname{cos}(A\,+\,B)\,$ e) $\,b^2\,=\,a^2\,+\,c^2\,+\,2ac\,\operatorname{cos}(A\,+\,B)\,$
Num triângulo $\;ABC\;$, o lado $\,a\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,A\,$, o lado $\,b\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,B\,$ e o lado $\,c\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,C\,$. Tem-se que $\;a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,bc\;$. Calcular a medida do ângulo $\;\hat{A}\;$.
resposta:
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
Resolução: $a^2 = b^2 + c^2 - 2(b)(c) cos\hat{A}$ (lei dos cossenos) Comparando-se a relação da lei dos cossenos com a relação fornecida no enunciado, têm-se que :$\;(bc)\centerdot 2cos\hat{A}\,=\,(bc)\;\Rightarrow\;2cos\hat{A}\,=\,1\;\Rightarrow\;cos\hat{A}\,=\,\dfrac{1}{2}\,$ $\,\Rightarrow\;\boxed{\,\hat{A}\,=\,60^o\,}$ Resposta:
(ITA) Os lados de um triângulo medem a , b e c (centímetros). Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = 8c.
a)
30°
b)
60°
c)
45°
d)
120°
e)
135°
resposta: Alternativa B
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
Resolução:
Na figura, um triângulo genérico $\,\triangle ABC\,$ onde deseja-se a medida do ângulo $\,\hat{A}\,$.
(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 .Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .
a)
Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$
b)
Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?
c)
Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°
resposta: a)
Resolução:
Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:
i)
pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$
ii)
o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$
iii)
o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$
iv)
o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$
v)
Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:
$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$ b)
Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.
Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.
raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$ c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4. ×
Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo de 120° . Calcular o terceiro lado.
Num triângulo ABC , o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4 , respectivamente. Então: a) BC < 4 b) BC < 5 c) BC > 7 d) 5 < BC < 7 e) nenhuma das anteriores é correta
